线性代数:矩阵的秩与方程组解的判定

这节课的核心就一句话:解的情况不看系数长短,只看两个秩。把 r(A) 和 r(A,b) 算出来,一切都有结论。

求秩的流程

• 只做初等行变换,化成行阶梯形;非零行的行数就是秩 r(A)。
• 解方程组时,把 b 一起放进增广矩阵 (A | b) 里变换,一次就能同时得出 r(A) 和 r(A,b),不用分两次算。
• 解方程组时别做列变换——换了列,未知量的顺序就乱了;行变换永远安全。

非齐次方程组 Ax = b 的判定

其中 n 是未知量的个数。

齐次方程组 Ax = 0

• 永远有零解,所以只分两种:r(A) = n 时只有零解;r(A) < n 时有无穷多解。
• 基础解系里恰好有 n − r(A) 个向量,数自由未知量个数就能检查对不对。

例题:一个带 λ 的方程组

系数行列式算出来是 1 − λ,于是分两种情况:

• λ ≠ 1:行列式不为零,系数矩阵满秩,唯一解。
• λ = 1:行变换后得到 y = 3 和 x + z = 3,r(A) = r(A,b) = 2 < 3,无穷多解:(x, y, z) = (3 − t, 3, t),t 取任意常数。

易错点

• 忘了用增广矩阵,b 没跟着一起变换,r(A,b) 算错,后面全错。
• 判非齐次方程组的唯一解,要两个秩相等且等于 n;只看 r(A) = n 是齐次方程组的待遇。
• 无穷解的自由量个数是 n − r(A),写完通解最好代回原方程组验一遍,几秒钟的事。